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美国的数学考试允许使用计算器的真正原因

当我还在上初中的时候,要说有什么最喜欢玩的东西,那便是计算器。

那时我们流行用国产的自然手写计算器,不过其实功能是很弱的,远远比不上卡西欧的手写计算器。最典型的是国产的计算器表示分数只能用“a/b”的横行形式,但是卡西欧则能使用竖行形式。值得玩味的是,当时国产的计算器卖12元,而卡西欧卖120元;十年后,国产的计算器功能还是那么简陋,但是外壳做工提升了一下,便卖到30元,而卡西欧则降价到56元。

那时候每天把玩、研究计算器比打游戏还兴奋,我甚至自己不知道怎么就开发出了一种类似于倒计时的玩法,通过输入一串提前预设好的数据,然后一直按着方向键向下,就能在屏幕上连续出现10、9、8……的倒计时,而且时间正好间隔正好是1秒钟。现在回想起来,这大概是我编过的第一个程序,虽然实际上并不是编程,但是在实现方法上却和用计算机编程有异曲同工之妙(每次刷新屏幕时展示同一个静态画面,如此重复,直到一秒钟后切换到下一个静态画面)。

而在那时,我便常常听说美国的学生允许使用计算器,而老师们也常说,美国人因为爱用计算器,所以数学不如我们。那时的我年少,倒也迷信几分这种话语,全然不知道美国的数学水平在世界是前列的,而我们中国人真正进入到现代数学的体系,则可能得到鸦片战争以后。因此,光以这种浅薄的根基来说,我们中国人所谓的水平数学高超,实则是一种计算能力,而这种计算能力又是十分初等的,其实是不足挂齿的。

计算器、计算机诞生后,我们更是明白,其实所谓的单一计算,根本不是人的长处,我们比计算机聪明的地方在于我们有着很强的思维能力,而计算机则没有,但比较起单一计算能力,人则远远不如计算机。我并不是否定基础运算的作用,基础运算的能力其实是非常重要的,但远远没有我们中国人所强调的那么重要。实际上,美国中小学的学习中也是较为强调基础运算的作用的,我观察到那些做数学视频的美国人的口算能力也是很强的,不输给中国人。我们中国人学习了很久的数学,其实陷入了一种重复劳动的尴尬,劳动量很大,但是思维的提升非常有限,而美国人则往往把精力花费在如何提升数学思维上。

实际上美国的数学考试试卷也是分成允许使用计算器的部分和不允许使用计算器的部分,所以美国人也不会完全依赖计算器,而忽略算术的基本功。我们中国人可能是习惯于一刀切,所以完全地抵制计算器。大概初二、初三的时候,为了适应中考,计算器已经淡出了我的视线。到了高中,为了迎接高考,计算器更是彻底远离我的生活。从那时开始,我便疏于工具的使用,也全然忘记曾经自然探索、自然习得的乐趣。

讽刺的是,我们的数学教科书上有不少图文讲解如何使用计算器,但我们的老师却从未在课堂上教授给我们,毕竟日常学习中完全用不到,考试中也用不到,更会被视作弱化计算能力的洪水猛兽。

同样的事情发生在小学数学的方程上。尽管教科书的编排会安排一些章节专门讲解方程,但是小学数学老师们都把方程看作弱化学生数学能力的罪魁祸首,所以总是告诫学生不要使用方程,甚至命令禁止在数学试卷中使用方程解题。这样的状况我当年上小学的时候如此,如今的小学生依然如此。的确,方程作为一种简便的工具,会弱化学生的思维能力,但是未必就见得让学生耗费脑力,用传统的算术方法去解题就是一种好事。要知道将来我们用的最多的数学工具依然是方程。然而,我们在小学的时候,过分强调学生本身的智力,以为那样可以锻炼学生,殊不知这样做既没有让学生正确掌握方程的使用,也让许多学生从小学开始就厌倦了数学,以为那是一种十分困难的学科。数学研究的确是困难的,但是把数学当成工具使用并不算太难。

当然,我也要为小学数学老师说几句公道话。他们之所以禁止学生使用方程,是因为小学的数学体系本身是以算术方法为主的,如果过多使用方程,就会让数学成绩变得难看。为了应付教学考核,老师们也只好用自己的方法捍卫教学成果。所以这里面的矛盾就成了教育部认为给小学生教授方程是件好事,为初中的代数学习打下基础,但是小学数学老师却为了业绩压力,不得不对抗教育部的规划。幸好如今越来越多的小学生是直升初中,小学阶段的学业压力不断缓解,老师们也就不必过分管控学生使用方程了。

最近从头开始学习一本地地道道的美国微积分教材后,更是让我明白其中的根本差距。

我不知道中国考试强调不用计算器的原因是什么,也许是对自己祖传的算术方法比较自信,也许是怕计算器削弱学生的计算能力,也许是怕有人靠计算器作弊,但从结果而言,既然不允许使用计算器,那么考试的答案就必须是能通过手写计算而出的。这就导致了我们很容易在特殊值上获得一种简单化的倾向,从而严重削弱了在真实世界中解决问题的能力。典型的比如三角函数,如果我们为了考试方便,当然都是用几分之pi的简单值,但实际上在工程运用中,通常会出现零点几的数值,学生往往搞不明白这个值到底代表什么含义(实际上是弧度值),也不明白如何转换成常用的角度值。

上述问题紧接着而来的就是,因为我们必须尽可能地简化计算,除了使用特殊值外,还必须让整个函数变得易于计算,但现实生活中,函数往往是复杂的,因此我们就会抛弃掉那些真实的案例。而因为美国允许使用计算器,所以他们的教科书和课后练习中会直接以现实生活中会出现的各种函数来举例,我印象比较深的有日落时间和每日温度是一个经过变换的sin函数。这些真实存在的物理公式,往往带有不那么凑巧的系数,用手计算可以说是很困难,但是用计算器则不然。因此,只要是真正明白各种数学知识的原理,实际上这些题目都是不可怕的,按部就班地拿计算器计算便是。

我们这种避免使用真实工程中可能出现的情况的倾向,就很容易让书本与考试脱离实际,让学生无法掌握真正的知识原理,也无法运用到生活实践上去。长此以往,不但丧失能力,更容易产生对数学的畏难情绪,看到真实存在的那些看似很复杂实则很简单的数学公式也会觉得如临大敌,怀疑自己是不是智商不如人,也不知道学数学到底有什么用。

因此,我认为,中国的数学教育是必须摆脱重复低效的,不能把学生的精力都浪费在重复计算上。让学生真正懂得函数的意义,各种公式的意义,才是对他们的一生有根本性的帮助的,才是对整个国家和社会的进步、发展有真正的帮助的。

现代计算机、编程语言以及各类运算软件的普及,使得普通人也能掌握强大的算力,而如果放在古代,是需要职业数学家们花费几年甚至数十年去手动计算、验证一个算式的结果。所以,如果我们到了现代还将我们的思维放在计算能力这种最基础的事情上,几乎可以说对自己、对社会、对人类都是没有任何帮助的。我们应该把主要精力放在如何计算上,也就是算法。

比如我在学习极限时,给定一个函数式,要求分别以正负0.1,0.01,0.001,0.0001的差值从左右两个方向不断逼近某点a,计算出数值并列表。即便使用计算器,仍然是一项较为浩大的工程,而且意义不大,因为我们主要是要了解极限的思想。这时候,运用我所掌握的编程知识,编写一个程序,就能全自动给出运算结果。

下图便是我用自己Python编写的一段程序,只有区区几行。如果要更改函数的算式,只需要修改f(x)内的算式;如果要添加更多差值以求得更加精确的极限值,修改delta_x即可;如果要修改要逼近的点的值,修改a的数值即可。

所以,最终,我们可以得出结论:掌握思想才是王道,其次是掌握工具的使用。这样,我们才可以在通往真理的道路上越走越远,而不是原地打转。

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